近期，我们接到客户委托，需撰写一份关于向量自回归（VAR）模型的研究报告，报告中包含必要的图表和统计输出。

自1980年Sims发表划时代论文以来，向量自回归模型在宏观经济研究领域扮演了核心角色。本文旨在阐释VAR分析的基础概念，并指导如何对简单模型进行估算。

VAR即向量自回归，为了理解其含义，我们首先探讨一个基础的单变量自回归（AR）模型，该模型表达式为yt=a1yt−1+et。

在估算此类模型前，必须检验时间序列的稳定性，即其均值和方差是否随时间保持恒定，且无趋势性。

多种统计检验手段，如Dickey-Fuller、KPSS或Phillips-Perron检验，可用于判断序列稳定性。此外，通过绘制序列图并观察其是否围绕固定均值（水平线）波动，也是一种常用的判断方法。

类似于AR（p）模型，仅对宏观经济变量的滞后值进行回归可能过于局限。通常，更合理的假设是存在其他影响因素。通过引入因变量的滞后值及其他（外生）变量的同期和滞后值，可以构建更全面的模型。对于内生变量yt和外生变量xt，模型可表示为：

yt=a1yt−1+b0xt+b1xt−1+et.

这种自回归分布滞后（ADL）模型的预测能力可能优于简单的AR模型。但如果外生变量也受到内生变量滞后值的影响，即xt也是内生的，那么我们还有进一步优化预测的空间。

因此，VAR模型可以被视为一系列独立的ADL模型的集合。实际上，通过单独估算每个方程，我们可以建立VAR模型。

标准的VAR模型协方差矩阵是对称的，这意味着内生变量之间的关系仅体现相关性，而非因果关系，因为每个方向上的影响是等价的。

在所谓的结构化VAR（SVAR）模型中，我们分析了变量间的因果关系，通过对协方差矩阵施加限制来实现。

本文考虑的是VAR（2）过程。

对于简单的VAR模型，参数和协方差矩阵的估计较为直接。在估计VAR模型时，需要加载并指定数据集和模型。

VAR分析的关键之一是确定滞后阶数以获得最佳结果。模型选择通常基于信息标准，如AIC、BIC或HQ。在样本量较小的情况下，AIC通常是更优选择，而BIC和HQ在大样本中表现更佳。

通过计算标准信息标准，我们可以找到最佳模型。在本例中，我们采用AIC：

通过观察，我们发现AIC推荐使用2阶模型。

仔细分析结果，我们可以将实际值与模型参数估计值进行对比：

所有估计值的符号正确，且接近真实值。

一旦确定最终的VAR模型，就需要解释其参数估计值。由于VAR模型中所有变量相互依赖，单个参数值只能提供有限信息。为了更深入理解模型的动态特性，我们采用脉冲响应（IR）方法。通过绘制响应变量的轨迹，我们可以得到宏观论文中常见的波动曲线。

以下示例中，我们关注序列2在受到冲击后的行为。在指定模型和变量后，我们将时间范围设定为20，以观察序列2的响应。

需要注意的是，正交选项对于理解变量间关系至关重要。在我们的示例中，由于已知真实方差-协方差矩阵的对角线元素为零，因此不存在变量间关系。但由于时间序列数据有限，参数估计精度受限，导致协方差矩阵的非对角元素出现正值，这意味着存在非零的同时效应。为了排除这种情况，我们在IR中设置正交选项，使脉冲响应从周期0开始。

此外，我们还可以计算并绘制累积脉冲响应函数，以了解长期总体影响：

我们发现，尽管序列2对序列1的响应在某些时期为负，但总体影响是显著的正面。