期权是一种金融衍生品，其价值取决于标的资产的价格。期权定价公式是金融学中一个重要的课题，本文将详细介绍期权定价公式（Black-Scholes公式）的推导过程。

一、期权的定义与分类

期权是一种权利而非义务的金融合约，赋予持有者在规定的时间内以约定价格买入或卖出一定数量的标的资产的权利。根据权利的不同，期权分为两类：看涨期权和看跌期权。看涨期权是指持有者有权在规定时间内以约定价格买入标的资产；看跌期权则是指持有者有权在规定时间内以约定价格卖出标的资产。

二、期权定价的假设条件

在推导期权定价公式之前，我们需要假设以下条件：

1. 标的资产价格遵循几何布朗运动，即价格变化满足随机微分方程：dS = Sdt + SdW，其中为预期收益率，为波动率，dW为标准布朗运动的增量。

2. 无风险利率r为常数。

3. 期权合约在到期日之前无红利支付。

4. 市场不存在套利机会。

三、期权定价公式推导

1. 看涨期权定价公式推导

首先，我们考虑一个由标的资产和无风险资产构成的组合。设组合中标的资产的比例为x，无风险资产的比例为1-x。组合的价值V随时间的变化为：

dV = xSdt + (1-x)rdt + xSdW

为了消除组合价值的不确定性，我们需要使组合的瞬时收益率等于无风险利率r。即：

Sxdt + r(1-x)dt = rdt

解得：

x = r / ( + ^2)

将x代入dV的表达式中，得到：

dV = rdt + xSdW

由于dV = VdW，我们可以得到：

dW = (r + xS) / V dt

将dW代入dV的表达式中，得到：

dV = rVdt + xSdW

整理得到：

dV = rVdt + (r/ + ^2/2)Sdt - (r/ + ^2/2)SdW

由于dW是标准布朗运动的增量，我们可以将dV表示为：

dV = rVdt + SdW'

其中，dW' = dW - (r/ + ^2/2)Sdt

根据伊藤引理，我们可以得到V的期望值E(V)：

E(V) = V0e^(rt)

将dV的表达式代入，得到：

E(V) = V0e^(rt) + ^2S^2/2 * ∫(0, T) e^(r(T-t)) dt

整理得到：

E(V) = V0e^(rt) + ^2S^2/2 * e^(rT) / r

由于看涨期权的价值等于组合价值减去执行价格的现值，即：

C = E(V) - Ke^(-rT)

代入E(V)的表达式，得到：

C = V0e^(rt) + ^2S^2/2 * e^(rT) / r - Ke^(-rT)

整理得到：

C = S0N(d1) - Ke^(-rT)N(d2)

其中，d1 = (ln(S0/K) + (r + ^2/2)T) / (√T)，d2 = d1 - √T

2. 看跌期权定价公式推导

看跌期权的价值可以通过看涨期权价值与标的资产价格、执行价格和波动率之间的关系推导得到。根据看涨期权和看跌期权的平价关系：

P + S0 = C + Ke^(-rT)

整理得到：

P = C - S0 + Ke^(-rT)

代入看涨期权定价公式，得到：

P = S0N(-d1) - Ke^(-rT)N(-d2)

四、结论